La trigonometría,posee numerosas aplicaciones. Así como por ejemplo, las técnicas de triangulación, son usadas
en astronomía para medir distancia a estrellas próximas, también son usadas para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de
navegación por satélites.
Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la
matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión.
La
trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las
esferas en la geometría del espacio.
Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por
lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de
triángulos".
Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo
rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura:
Los ángulos con vértice en A y C son
agudos, el ángulo con vértice en B es recto.
Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos
agudos (α y β) son la hipotenusa y un cateto, y los lados
del ángulo recto ( γ) son los catetos.
Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la
hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto
al ángulo o cateto adyacente al ángulo.
Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia
y se encuentra enfrente de este.
Con los siguientes ejemplos, observemos lo mencionado anteriormente:
Si consideramos el ángulo α
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Si consideramos el ángulo β
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Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del
triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a
sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula
enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.
Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o
relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un
triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se
llaman Funciones trigonométricas.
Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer
para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo.
De estas seis razones trigonométricas tres son fundamentales y
tres son recíprocas, como observamos en el siguiente cuadro:
Razones trigonométricas
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Fundamentales
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Recíprocas
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sen
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seno
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cosec (csc)
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cosecante
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cos
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coseno
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sec
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secante
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tan (tg)
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tangente
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cotan (cotg)
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cotangente
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Veamos un ejemplo, para un ángulo α:
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Sea el ángulo BAC de
medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo
rectángulo ABC.
Los lados BC y BA son
los catetos y AC es la hipotenusa.
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En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con
respecto a alfa (α) se definen como:
Seno (sen)
Seno, es la razón
entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa
Coseno (cos)
Coseno, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.
Tangente (tg, tan)
Tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al
mismo.
Estas tres razones (seno, coseno, tangente) son las
razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los
lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.
A cada razón fundamental le corresponde una razón
recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa de otra fundamental.
Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer
respecto al mismo ángulo:
Cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al
mismo.
Secante (sec)
Secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.
Cosecante (csc)
Cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.
Ahora, resolvamos un ejercicio: Figura Nº 1
Dado el triángulo ABC recto en B , sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm. . Halla las razones trigonométricas con respecto al ángulo alfa .
Resolución:
- Trazamos el gráfico (figura Nº1)
- Aplicamos el Teorema de Pitágoras y
calculamos la hipotenusa, que es:
x2
= 82 + 62
x2
= 64+ 36
x2 = 100
x = 10
Luego, la hipotenusa mide 10 cm
- Finalmente. conociendo los tres lados del triángulo rectángulo, podemos calcular las razones trigonométricas:
Ahora observemos:
CONCLUYENDO
1. Halla las razones trigonométricas del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 2m.
2. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8m y 15m. Halla las razones trigonométricas del mayor de los ángulos.
Recuerda
Teorema de
Pitágoras
- En todo triángulo rectángulo, el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
- Y, En todo
triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la
diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto.
- Sea:
Debido a que un triángulo tiene tres
lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja de estos lados.
Las razones trigonométricas de un ángulo
agudo en un triángulo rectángulo son las siguientes:
Ejercicio propuesto
1. Halla las razones trigonométricas con respecto al ángulo B y con respecto al ángulo C
TRIÁNGULOS NOTABLES
VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
Ejemplo: Halla el valor de: E .
Solución:
Ejercicios propuestos
Halla el valor numérico de:
