Introducción a la trigonometría: 2012

La trigonometría,posee numerosas aplicaciones. Así como por ejemplo, las técnicas de triangulación, son usadas en astronomía para medir distancia a estrellas próximas, también son usadas para medir distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.

La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.

Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos".

Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura:

Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.

Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y β) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto ( γ) son los catetos.

Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.

Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.

Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.

Con los siguientes ejemplos, observemos lo mencionado anteriormente:

Si consideramos el ángulo α	Si consideramos el ángulo β

Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos.

Aprendido y recordado lo anterior, veremos ahora que las razones o relaciones trigonométricas se establecen entre dos lados de un triángulo rectángulo en relación con cada uno de sus ángulos agudos. También se llaman Funciones trigonométricas.

Seis son las razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo.

De estas seis razones trigonométricas tres son fundamentales y tres son recíprocas, como observamos en el siguiente cuadro:

Razones trigonométricas
Fundamentales		Recíprocas
sen	seno	cosec (csc)	cosecante
cos	coseno	sec	secante
tan (tg)	tangente	cotan (cotg)	cotangente

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

Sea el ángulo BAC de medida α (siempre menor de 90º) en el triángulo rectángulo ABC.

Los lados BC y BA son los catetos y AC es la hipotenusa.

En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto a alfa (α) se definen como:

Seno (sen)

Seno, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa

Coseno (cos)

Coseno, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

Tangente (tg, tan)

Tangente, es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al mismo.

Estas tres razones (seno, coseno, tangente) son las razones fundamentales que se pueden establecer entre un ángulo agudo y los lados del triángulo rectángulo del cual forman parte.

A cada razón fundamental le corresponde una razón recíproca, llamadas así por que cada una es la inversa de otra fundamental.

Las tres siguientes son las razones recíprocas que se pueden establecer respecto al mismo ángulo:

Cotangente (cot, ctg)

Cotangente, es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y el cateto puesto al mismo.

Secante (sec)

Secante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo.

Cosecante (csc)

Cosecante, es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo.

Ahora, resolvamos un ejercicio: Figura Nº 1

Dado el triángulo ABC recto en B , sus catetos AB = 8 cm y BC = 6 cm. . Halla las razones trigonométricas con respecto al ángulo alfa .
Resolución:

Trazamos el gráfico (figura Nº1)
Aplicamos el Teorema de Pitágoras y calculamos la hipotenusa, que es:

x² = 8² + 6²

x² = 64+ 36

x² = 100

x = 10

Luego, la hipotenusa mide 10 cm

Finalmente. conociendo los tres lados del triángulo rectángulo, podemos calcular las razones trigonométricas:

Ahora observemos:

CONCLUYENDO

Ejercicios propuestos

1. Halla las razones trigonométricas del menor ángulo agudo de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 5m y uno de los catetos mide 2m.

2. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8m y 15m. Halla las razones trigonométricas del mayor de los ángulos.

Recuerda
Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Y, En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto.
Sea: